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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 MHX`pqJ{U  
+[JUtiaA|a  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. j\g2VnPW  
&58_<lCs,  
　　1、三角函数本质： O^4bAWeQ8  
I4GtSlc-o  
　　三角函数的本质来源于定义 U:[Z+}o[}  
'#g "v@  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :uP"HCG  
4& "j3Jo  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 xJf/{d\rQ  
BB[5IL*;8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;v%HL.  
oX* %&oK@  
　　推导： 0(Q1!![F?  
I 5rwQ_k4  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 l@*2+-O&%  
)Sn* QYDc  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) f0bKQ5  
sHCGb`?  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) J? _h5   
R(/D(&}  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 7* .Xt@}|  
"O<N2Q~)  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） B oB 7tOC  
|R6|"H s  
　　[1] 2e^t&"h  
I-Ysa[2<:  
　　两角和公式 @/G|"\k  
R@ fJ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB LRF'bAK"  
nEoB<G#  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  /]7*]!W  
uH.A i 9*  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB t(=I<]b  
pAasYqJ5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB l)@[_  
f?jP f{4_X  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) dqd_7['  
P%1W~UGOQ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) +}l +R  
y 0/A" x  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  W5)6 k96x}  
klfDhXO}  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) osRCBq\3  
zsF36L6%  
倍角公式 F9  {q5n  
*e4W!uM  
　　Sin2A=2SinA•CosA OVrqt,`p~  
0 H IC  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 J(Clw$`4  
eo[NrD'1  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） G}g[7  
pbg~|4OZ  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Od.'qXle  
B/jXe~a  
三倍角公式 6qXm6"  
2O`{H*T  
　　 jr,7j*  
a3i.pEh*i  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 4RTwpSM5vB  
4 Saif]^)b  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) f7}WMt  
l]~=m+R@4  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) bQX8]'\  
gLQ G+/ 7X  
三倍角公式推导 . O[\=  
nj0 }HJu  
　　sin3a 52(._US$-  
5$pYW.U  
　　=sin(2a+a) mtV[CxiI  
&:[X; (  
　　=sin2acosa+cos2asina 0'PVyV}!~  
aEK`s"  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina c="7hGvi  
{X:?T'N  
　　=3sina-4sin³a R jB[^57j&  
5L'g`7  
　　cos3a 5W|2?87,`  
kR(5jn?D&z  
　　=cos(2a+a) 3GP!cl)  
_I<!q0-s{  
　　=cos2acosa-sin2asina }Louj* cfJ  
Q4WIs  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa M*UdVk^ p-  
eC>bc`@c!  
　　=4cos³a-3cosa IK uY3+a  
x4{MMwdA  
　　sin3a=3sina-4sin³a ]192+KI-ze  
Z%y"$ }9  
　　=4sina(3/4-sin²a) O>'.+,9  
bjYAxNm}  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] H~o"y}-"wx  
@},+zBdMH  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) xC_r{r[h  
e~Dm=Q(A  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) .c[}Hk%|  
Vc Q|bvI  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] |;ctZs5l  
Lwk:''4":(  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) c` QO=>nv  
W#V IOi|)j  
　　cos3a=4cos³a-3cosa -kz:AT4  
bTVrfyp"X  
　　=4cosa(cos²a-3/4) j*rq;5y  
>(%S*SK  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] *^N*.tVvtj  
NCFmK  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) <eCp ! W=  
}B6.w9w  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) #9C\)Tk  
0Q5HT%\Y:  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} <GG3*l6  
T 7#sN3  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =HbAdM>  
k[5%=Y&  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 2E3l$`u#  
\eS b  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] h8| Ce&7e  
;\w5TTr[u  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ,) 5%2*#  
qWQz]Bk  
　　上述两式相比可得 !AV:^aw C  
1MmvGYX_G  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) e2W08}a 2*  
Fe?,VFG9&t  
半角公式 M;VqtL~n/  
I6 _}` l  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 2b?q82>Af  
u]PE%1 9(  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. xG>j3?*G  
N?K=y U<  
和差化积 l\n^LiU2  
yA#tr-l  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] pj/H$\:I  
HH>v_\C%  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Sih> MrE  
|Gv!JI x>1  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] tv))hV1X  
@=Q7yhE  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [x^  ;ww  
FIJ](y@A  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) S`-t[}V  
}V$uTY  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) LsRE`JYh$  
rionv  
积化和差 MWX@6x@'Ib  
"J={6fdC[  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] D }&?3\  
BI{BESLU  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] _. 3H>#I  
)xOIGRTW@]  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ^0!pJ(mM  
6O2]b5a,':  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] {fk>?\N=  
| 5}'V^BZ  
诱导公式 .b@0c3@  
s-"2x*  
　　sin(-α) = -sinα j4.w1oC=  
J<a5U?I  
　　cos(-α) = cosα #FKiZxZ  
HGGIhL  
　　sin(π/2-α) = cosα ]\(bP  
PFi62   
　　cos(π/2-α) = sinα <g%9BMP7  
G$%kFk5L]  
　　sin(π/2+α) = cosα \ u(u  
/Hs+{Nt  
　　cos(π/2+α) = -sinα $$Xy?o"7d\  
$`SOKS5S&  
　　sin(π-α) = sinα T;oFX- 8  
p-bJzZ#/4  
　　cos(π-α) = -cosα >XfA0qD  
3]XfOWz  
　　sin(π+α) = -sinα 8vKT/)n;  
#w, *p  
　　cos(π+α) = -cosα g*8XI Q  
CiE>@B"O{  
　　tanA= sinA/cosA  X5Ok|  
Z8_;@j  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα U\:m{<|oE  
UE!v/ZjgN  
　　tan（π/2－α）＝cotα vzT`(66  
wvD_m{} y  
　　tan（π－α）＝－tanα ]OQ E38  
e.$`e 1v%0  
　　tan（π＋α）＝tanα Q$8O-+  
?n w /._  
万能公式 R|g Gujb  
].~$k2   
　　 iMtWMA?a  
'1hH"ip|0  
其它公式 gG8orBn6L  
7SB*3Uc*  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 gapCddN:C  
&^BERS@?O  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 r#V  
r`tF2]b  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 up=KpQ<6BN  
V|ZjEKNcuO  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 n+B$8C6%'  
5K{7sr`>T1  
　　对于任意非直角三角形,总有 DPy{[pOR,  
FQfqJMAE  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $ fs, )Qx  
YH3 .{1  
　　证: 6F^2=  
7G^ldd\\p  
　　A+B=π-C qN sVN7!  
{ % !S[p[  
　　tan(A+B)=tan(π-C) /!&I}s:\  
efB&Mh~  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) v.N|=p(K2$  
%'])1!T  
　　整理可得 2W:|(X#0  
^>Dl`R  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Yi\/eCv  
|E~e Y56  
　　得证 0 {tS5?5   
P 18+}  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 8TL^{U-n  
*GCN+\p>  
其他非重点三角函数 X0t:t=\  
^x&X"  
　　csc(a) = 1/sin(a) oMN'iJ  
2G52tMnE`  
　　sec(a) = 1/cos(a) Yw)UuG/c  
r04dF{B  
　　 ?!Lx )q)1  
fG:<LD<  
双曲函数 +mw$l?',  
2xU[.Mh;(;  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 =jB@"|=G  
Sl,~ B_C  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 "=E62 x  
mC%s!bLZ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) =K_:{eGE  
'p/OQZR]c  
　　公式一： KWZblG  
' P8sn [  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： S(0=Y  
2Vq zTw  
　　sin（2kπ＋α）= sinα &I+ZjF%!  
d Tau%k  
　　cos（2kπ＋α）= cosα :R`8 6`~  
t0t3" Q0  
　　tan（kπ＋α）= tanα Y#7"3|rt:  
v:s.:6  
　　cot（kπ＋α）= cotα F*[-2RkT  
;V\@hg(  
　　公式二： 2 mTqz&R  
C%C( bp  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： WD9-~;(_  
kE" N   
　　sin（π＋α）= -sinα O<6]?(  
d2l}^Q=4  
　　cos（π＋α）= -cosα }IRAaGw  
fD6#:R#  
　　tan（π＋α）= tanα u o,||F  
mmfEgT.^  
　　cot（π＋α）= cotα C-Yjzu  
c$^]x&K  
　　公式三： ZX^rf2v!  
,4('wy|  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： w zU*  
?}.}L[l  
　　sin（-α）= -sinα ` q6_Ya  
"En* Kpt  
　　cos（-α）= cosα lMhdip$.  
EUcdGT4  
　　tan（-α）= -tanα _Oh8Cv~`o  
\I~k8'3R8  
　　cot（-α）= -cotα DS`:=<L.h  
tq<%,&~  
　　公式四： ~Wtlm6!S"  
4vsJT(t  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： gV ^>@  
Mvnf198  
　　sin（π-α）= sinα g(A32Gz  
whoFNL?Td  
　　cos（π-α）= -cosα g@mxE*W  
Fv<+@IE-  
　　tan（π-α）= -tanα T#QR. r7  
Exs[W!eg  
　　cot（π-α）= -cotα agHmw{Q|  
.QVU/#^s9  
　　公式五： ;wJ>md6)B~  
zIqbMBX9  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： LF0`5RL]=  
o5rel;p  
　　sin（2π-α）= -sinα p#l9kn)  
|$F@b'O\!  
　　cos（2π-α）= cosα I%J1 y!='  
23 ;#}g  
　　tan（2π-α）= -tanα ~m-VmOE,  
[9e:p\^,6  
　　cot（2π-α）= -cotα 'OtWdQN[  
9  BCbk=  
　　公式六： > %,1-)  
Hy+Ou5  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： :[{iqq1qAx  
:3C%r(  
　　sin（π/2+α）= cosα m#i:lNe=Su  
 T:|#|m  
　　cos（π/2+α）= -sinα a6.khdSA]  
{,dMNd{T  
　　tan（π/2+α）= -cotα *M<:sNb>O  
`NAZ'C?#  
　　cot（π/2+α）= -tanα yEJ-/z:m  
{vQDND4t  
　　sin（π/2-α）= cosα f/R]yV'eW  
ZTMADN!  
　　cos（π/2-α）= sinα j58JIj,V  
(3Y!^i}/VT  
　　tan（π/2-α）= cotα I~qmfs{j&  
k)u_,]  
　　cot（π/2-α）= tanα 0g #a  
5XuS,/vY  
　　sin（3π/2+α）= -cosα g=-a  
v^c1&7\ @  
　　cos（3π/2+α）= sinα <OWBw7xQ  
#8f{Asf  
　　tan（3π/2+α）= -cotα &U@VpY p|>  
w5`}$Wt>  
　　cot（3π/2+α）= -tanα v (]x0)|;  
Rhq  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ;YakYm.5  
sJ\+g,G6  
　　cos（3π/2-α）= -sinα VmglK-]dX  
+_)5*-H  
　　tan（3π/2-α）= cotα jZq4Je  
(gHI3t   
　　cot（3π/2-α）= tanα K+sx$^s<c  
k'F8Q.  
　　(以上k∈Z) h DH&W_G  
7VtQ!s/>  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 q7[9O #$  
9g"jJ!H\G  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Nyekp6MB  
3=_@gZ6u  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }  i? {   
5j8KO&K  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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