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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 cB[5i}+!  
c I j%  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ^T_3jp7  
"aEN3F\%@  
　　1、三角函数本质： *3`q\kh,  
2]Z`h-Vl  
　　三角函数的本质来源于定义 qj2%/V<  
:^}!io  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 DIA{lb Or  
_Yt,Z98y  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 "_);a7g  
EwQ}7cf9  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ! ` ShwC]^  
MF[Abu6^6X  
　　推导： \H~@|mi~5  
`A@UcIu  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 :Af(6:d   
\~) 'Rl  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^fAl{FV%To  
M*C`]3E  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) EA7U~=9jqN  
N|m7W}  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 FIX.W`<w  
^fL-a2T3^  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） A _=$&9d  
xBAWp$b  
　　[1] 3U< ? lZ  
0['"'zhg}  
　　两角和公式 B!DJbYd/[C  
&Q18ZU  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB |; J$;H w3  
c4+&vzd  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  u]ADfWEP  
BX;W89u`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB E+n,Y{  
=ZSMKm<  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB |ucSZ6pt1  
`G8-gdI  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]\4SYQ*Z"U  
smqo  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 2VhTDtm,N%  
`.G)Yi4(  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  66wXUpg1E  
lkUQ.fD  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) f(I >]8>  
n<>cGt 3F  
倍角公式 ) Z MB >  
:(Lo(#  
　　Sin2A=2SinA•CosA :W 1<iXF  
B PXg98Yj  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 %47VCv 86  
=@f=f8\pas  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） t]14+  
[E D,FLz  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） J>J>Jq  
0-^.P m\  
三倍角公式 :2?IIZg<I>  
6i+'J$LsG  
　　 `U<dc :>  
e>*u\F#  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) csg&]Z.  
mAyj_LY  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ,%h1oo<  
P"Hh;  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) k23/qky +%  
.SD$86t  
三倍角公式推导 'Uqjo  
D[Le?w%?6  
　　sin3a ss?e%J35  
-H1"zo`sE  
　　=sin(2a+a) _7/D_<%O8`  
e.)h38=#  
　　=sin2acosa+cos2asina 2Ig_{_ O/  
2:)n:Zu$  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }&tabE_:  
*q G>.T%S  
　　=3sina-4sin³a o?hI|vs7  
F&e)T  
　　cos3a i-oOwIWgq  
<BObze#w  
　　=cos(2a+a) =~GM.P  
Es*f)>]cW  
　　=cos2acosa-sin2asina A$3&64f=  
r[?mHq  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa &P~YV?SJ  
cK6,6  
　　=4cos³a-3cosa ya}'m  
aX&>PQ  
　　sin3a=3sina-4sin³a IHX(xP]  
!]_5L  
　　=4sina(3/4-sin²a) `C*"l4!A  
z^:^IW  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 8.vZc4g\  
J)a ;  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) |r <p)p  
oFTAB&#lKY  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) h<niP}aw  
sx -4 hy  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =@zJf~D!  
Al]Yd  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) pj00z:t  
ykt@k\?N`  
　　cos3a=4cos³a-3cosa KZ#j6B  
cR1)oz  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ,,_L{)'?0p  
` aUY& E  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] TjmR{0C Y  
Eg}`/  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ?k6=hf ig  
wOXJG A  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ) j :]el j  
$v&#<eN  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} )S[ Jt>j)  
n} _u;  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) &Br&^y7>S  
@JH+7;  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] J0^"HT  
RU|go  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] an;kbl,IZ  
 z_]?  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) i;DA *[QH  
+l@Tj$Ql  
　　上述两式相比可得 i>e^*%K$h  
"QZND s&  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 2ed$C}vZo  
="`hYk'i  
半角公式 97\+D6Z  
/! }\N!z  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ln *!o:O  
7;[fW./ZO  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. iB+o`[BkX7  
`aj t^  
和差化积 @6L;a:Rn  
:VtC.[6  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :'b~e, ;0X  
&Hzym.kgF  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ()RWYpG x  
LD)Qm26Q  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] _Q+_XwHZ$  
xxu.~@  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Kg!(k6 ;  
)J{3 c2Q  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) aAv !Ozs  
R 2rvcjW|  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 8RaZ256,  
VX!Ph.X R  
积化和差 4k~)' 1  
`r4:u  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ${F.i`F<  
Pt vX7Q(j  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] h>K$=K z  
Q?HU7acm  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] sI9Rk=3k  
_lz+(8  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] m1jEbI]  
dmE;p|\G*  
诱导公式 #Nd6xyV$  
n~8G>Qu9  
　　sin(-α) = -sinα C%Y3>-axd  
\i > ;$Z  
　　cos(-α) = cosα (D?F['zp-l  
`T1 NP-DpI  
　　sin(π/2-α) = cosα \]U]Ls&U  
vv3UH~(i5  
　　cos(π/2-α) = sinα |4(D`-bs  
7&f|5r<G  
　　sin(π/2+α) = cosα J(]6L{G  
N ;(!u`2&  
　　cos(π/2+α) = -sinα JZqw2LB  
"04@o2!@  
　　sin(π-α) = sinα RX<[M`Y +  
I:LZ 9c  
　　cos(π-α) = -cosα eS2P-Oj4R  
$ eh0wE  
　　sin(π+α) = -sinα v5hQ\Y[g  
s51c.=X7 +  
　　cos(π+α) = -cosα B3Rkc  
^Qj.uGNrcW  
　　tanA= sinA/cosA P #%E=-E  
$.W='\8  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα gP~{$$*'Ni  
KW7-46w  
　　tan（π/2－α）＝cotα {U`B"#mL  
,u$XR:  
　　tan（π－α）＝－tanα $J!ZJ^Is  
FXq-sf)&  
　　tan（π＋α）＝tanα '6],r= 5  
B;-;#c f  
万能公式 g~*iMIwEU  
!2<8.%fE/  
　　 I >|C=QgS  
O #3S /&a.  
其它公式 r0i *%  
]9#5'X(  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 z?@\ENQ&  
wod+aB`oE  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 jT7b3FD'  
wLs@y3 %x  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2  m"|_  
+HhB&M2?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 6\;*9V>  
&lFW/Z]29  
　　对于任意非直角三角形,总有 Aa&J889q  
Emu7>@yev  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Mzcx  
 oCfBc  
　　证: \P)\,: S  
wW,,<jR#  
　　A+B=π-C &RuQ+w]  
/:.F}Id'  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Y@d=Z E  
xwW*Uuw  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) y:=QqTW"  
]Vkj6ol/k  
　　整理可得 "_e;pN8bH}  
oSj`U@3P  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC fEt%n3DZ  
X=Mwu`4  
　　得证 hU'2 9Nad  
b(Q@7@  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 EXC9R".Gx  
s%} o)  
其他非重点三角函数 .>A^X 4  
z-{ .:#mN1  
　　csc(a) = 1/sin(a) m~wPk  
hG6T7Cd  
　　sec(a) = 1/cos(a) BhvVVR%  
 Gk1AY  
　　 p;P`   
27=5^"G6  
双曲函数 LU!uoae-rc  
XW'\ u.[  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 k=MjWt3L~  
%_Mch=VN  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 X("'3Tf 22  
6YX~ oC  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) (vd" xES0  
R=%sxOk  
　　公式一： ch< #h1  
}(g<V3m`  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： q~%Tv`=;h5  
wll$KKy  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Q||!Lxo  
x3C;a}l-  
　　cos（2kπ＋α）= cosα I^Y|$=m  
kFQo4#0F  
　　tan（kπ＋α）= tanα Dj-thg{8$  
@7J~gN!  
　　cot（kπ＋α）= cotα V:r |W"||  
?j3X]'  
　　公式二： \5pS4Zjd$  
g-G^oiv  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： e[dM=; d  
H:c?NY>O!u  
　　sin（π＋α）= -sinα J]_j|I  
iNEU`V7P7  
　　cos（π＋α）= -cosα Z ;e|cC  
px#+BOD  
　　tan（π＋α）= tanα F /bJO>P  
s4.kk$M*0  
　　cot（π＋α）= cotα -S*+FIY |  
ci@ `  
　　公式三： 7wYn guK  
CTzC!XM  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： >zq/u,$  
T0^lT/@l9  
　　sin（-α）= -sinα 'cYe^u  
sZ$p`"?  
　　cos（-α）= cosα _THZ   
.M^ RW8E  
　　tan（-α）= -tanα L?=H?A%  
*;.>yq$k  
　　cot（-α）= -cotα L]mD*Lj  
9188  
　　公式四： Xx8#/J1  
'6'9>U& g  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： e5> {"  
B${bP^q'  
　　sin（π-α）= sinα [ j hx5  
`pC@b)u/2  
　　cos（π-α）= -cosα 9:&PxYE3  
^gW]:9N  
　　tan（π-α）= -tanα z`$%A 4==  
D+#tyB  
　　cot（π-α）= -cotα ElSNbY9  
AH9EXei  
　　公式五： ;YKD/V\$Y  
Wt'^&4}.  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： pn>56su~  
Ve14bl]&O  
　　sin（2π-α）= -sinα X!XlEG$  
Xg*gDB3Cj  
　　cos（2π-α）= cosα ~_FTP}/&  
(B>a<v+kx  
　　tan（2π-α）= -tanα ggn/0;  
\`(F-!sL+  
　　cot（2π-α）= -cotα _G0{}8   
?cGntGn1z  
　　公式六： lS3/"#ZB  
kA=5UtD  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： qrYWVS   
7*$?yM6  
　　sin（π/2+α）= cosα 3,aB$SQ>O^  
M yiMt  
　　cos（π/2+α）= -sinα ad=D!ccN  
3]z&vdY  
　　tan（π/2+α）= -cotα L!A :% '  
?.R`$,&U+  
　　cot（π/2+α）= -tanα #}J$tGnc  
1NY!&eL]  
　　sin（π/2-α）= cosα O.b&DuVZ3v  
?e ;Y @k  
　　cos（π/2-α）= sinα &C$y^ow  
&ElXaCa+-  
　　tan（π/2-α）= cotα DA! 8 e  
"5<xMj@$  
　　cot（π/2-α）= tanα ;fWR- P*R=  
LF"LJJ"q  
　　sin（3π/2+α）= -cosα [Zc`Y(N2F  
} pz,tzQ  
　　cos（3π/2+α）= sinα x!lA Mj  
)lpLgxUkz  
　　tan（3π/2+α）= -cotα CZg;5F'  
h1`  
　　cot（3π/2+α）= -tanα @$\vZAU[u  
k`wk4K:  
　　sin（3π/2-α）= -cosα I8 S Wtd  
Pk qtm7  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 05rvE#p  
\| :J+JM9  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^;s\lJ9_J  
#67SoE '  
　　cot（3π/2-α）= tanα ,l Ri/T\e(  
X6BdTav#  
　　(以上k∈Z) Xz,$eJe  
]ff<H%{kN  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ga\|n\j w  
+SW5_b  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = |7"6}4}[  
Tq ',(  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } @Uo$t7,x  
lPMU97>  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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